已知 x＞0，y>0，且2x+y=1,求证：1/x+1/y≥3+2√2

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/11 21:31:09
高2数学，写出步骤，要用高2的《综合法》或《分析法》来解，1/x表示x分之1 √表示根号。。

1/x+1/y=(1/x+1/y)(2x+y)
=3+(2x/y+y/x)>=3+2√2
当且仅当2x/y=y/x,2x+y=1时取等号,
即x=(2-√2)/2, y=√2-1.

方法一：
1/x+1/y
=2x+y/x+2x+y/y
=2+y/x+2x/y+1
≥3+2√（y/x*2x/y）
=3+2√2
当且仅当2x/y=y/x,2x+y=1时取等号,
即x=(2-√2)/2, y=√2-1.
方法二：
1/x+1/y
=(1/x+1/y)(2x+y)
=3+(2x/y+y/x)
≥3+2√（y/x*2x/y）
=3+2√2
当且仅当2x/y=y/x,2x+y=1时取等号,
即x=(2-√2)/2, y=√2-1.

(a*a+b*b)(c*c+d*d)-(ac+bd)*(ac+bd)=aadd+bbcc-2abcd=(ad-bc)^2>=0
从而(a*a+b*b)(c*c+d*d)>=(ac+bd)*(ac+bd)
则1/x+1/y=(1/x+1/y)*(2x+3y)>=(根2+根3)的平方就是你写的那个式子
此时a=根号下(1/x),b＝根号下(1/y)，c=根号下(2x),d=根号下(3y)